1. АВ И А₁В₁, ВС и В₁С₁ - сходственные стороны подобных треугольников АВС и А₁В₁С₁, ВС : В₁С₁ = 2: 3, А₁С₁ = 6 см. Найдите длину АС и отношение площадей этих треугольников.

1. Рассмотрим подобные треугольники ABC и A₁B₁C₁.

Дано: BC : B₁C₁ = 2 : 3, A₁C₁ = 6 см.

Найти: длину AC и отношение площадей этих треугольников.

Решение:

1. Обозначим коэффициент подобия треугольников k.

   $$k = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{2}{3}$$

   Тогда, $$\frac{AC}{A_1C_1}= \frac{2}{3}$$.

   $$AC = \frac{2}{3} \cdot A_1C_1 = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4 \text{ см}.$$

2. Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

   $$\frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$$

Ответ: АС = 4 см, отношение площадей 4/9.