АВ и АС – отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 9 см. Найдите длины отрезков АС и АО, если АВ = 12 см.

Рассмотрим задачу поэтапно.

1. Так как AB и AC - касательные к окружности, проведенные из одной точки, то отрезки AB и AC равны:

$$AC = AB = 12 \text{ см}$$

2. Рассмотрим треугольник ABO, где O - центр окружности. OB - радиус, а AB - касательная, следовательно, угол ABO прямой.

$$\angle ABO = 90^\circ$$

3. Теперь мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ABO, чтобы найти AO:

$$AO^2 = AB^2 + BO^2$$

Подставим известные значения:

$$AO^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$$

Извлечем квадратный корень:

$$AO = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$

Ответ: AC = 12 см, AO = 15 см