Дано: дуга AB : дуга BC = 11:12. ∠AOC = 130°. Найти: ∠BCA, ∠BAC.

Решим задачу по шагам:

1. Обозначим угловые меры дуг AB и BC. Пусть дуга AB = 11x, а дуга BC = 12x.
2. Центральный угол AOC опирается на дугу AC. Следовательно, дуга AC = ∠AOC = 130°.
3. Дуга AC состоит из дуг AB и BC. Следовательно, дуга AC = дуга AB + дуга BC.

$$11x + 12x = 130^\circ$$ $$23x = 130^\circ$$ $$x = \frac{130}{23} \approx 5.65^\circ$$

4. Теперь найдем градусные меры дуг AB и BC:

$$ \text{дуга } AB = 11x = 11 \cdot \frac{130}{23} = \frac{1430}{23} \approx 62.17^\circ$$ $$ \text{дуга } BC = 12x = 12 \cdot \frac{130}{23} = \frac{1560}{23} \approx 67.83^\circ$$

5. Угол BAC является вписанным углом, опирающимся на дугу BC. Следовательно, его градусная мера равна половине градусной меры дуги BC:

$$ \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{1560}{23} = \frac{780}{23} \approx 33.91^\circ$$

6. Угол BCA является вписанным углом, опирающимся на дугу AB. Следовательно, его градусная мера равна половине градусной меры дуги AB:

$$ \angle BCA = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{1430}{23} = \frac{715}{23} \approx 31.09^\circ$$

Ответ: ∠BCA ≈ 31.09°, ∠BAC ≈ 33.91°