АВ и CD – диаметры одной окружности. Докажите, что AC||BD и найдите ∠ABC, если ∠BAD = 44°.

Дано: AB и CD – диаметры окружности, \(\angle BAD = 44^\circ\).

Доказать: AC || BD

Найти: \(\angle ABC\)

Решение:

• Т.к. AB и CD – диаметры, то OA = OB = OC = OD (радиусы окружности).
• Рассмотрим \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\):
• OA = OB, OC = OD
• \(\angle AOC = \angle BOD\) (как вертикальные)
• Следовательно, \(\triangle AOC = \triangle BOD\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
• Из равенства треугольников следует, что \(\angle OAC = \angle OBD\) как соответственные углы при прямых AC и BD и секущей AB.
• Т.к. \(\angle OAC = \angle OBD\), то AC || BD (по признаку параллельности прямых).

Найдем \(\angle ABC\):

• \(\angle BAD = 44^\circ\) (по условию).
• \(\angle BDA = 90^\circ\) (как вписанный угол, опирающийся на диаметр).
• В \(\triangle ABD\): \(\angle ABD = 180^\circ - \angle BAD - \angle BDA = 180^\circ - 44^\circ - 90^\circ = 46^\circ\).
• Т.к. AC || BD, то \(\angle ABC = \angle ABD\) как накрест лежащие углы.
• Следовательно, \(\angle ABC = 46^\circ\).