3. АВ И CD – перпендикуляры к прямой BD, точки А и С лежат по разные стороны от прямой BD. Докажите, что ВС || AD, если AB = CD.

Дано: AB ⊥ BD, CD ⊥ BD, AB = CD. Точки A и C лежат по разные стороны от прямой BD.

Доказать: BC || AD.

Доказательство:

Т.к. AB ⊥ BD и CD ⊥ BD, то ∠ABD = ∠CDB = 90°.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и CDB:

• AB = CD (по условию),
• BD – общая сторона.

Следовательно, ΔABD = ΔCDB (по двум катетам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов и сторон: ∠ADB = ∠CBD и AD = BC.

Т.к. ∠ADB = ∠CBD, то AD || BC (как накрест лежащие углы при прямых AD и BC и секущей BD).

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что ВС || AD