4. АВ и СD - диаметры одной окружности. Докажите, что АС || BD и найдите ∠ABC, если ∠BAD = 44°.

4. AB и CD - диаметры одной окружности. Докажите, что AC || BD и найдите ∠ABC, если ∠BAD = 44°.

Доказательство:

Пусть O - центр окружности. Тогда AO = BO = CO = DO (как радиусы).

1) Рассмотрим треугольники ΔAOC и ΔBOD.

AO = BO, CO = DO.

∠AOC = ∠BOD (как вертикальные углы).

Следовательно, ΔAOC = ΔBOD по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что ∠OAC = ∠OBD.

Эти углы являются накрест лежащими при прямых AC и BD и секущей AB.

Следовательно, AC || BD (по признаку параллельности прямых).

2) Теперь найдем ∠ABC, если ∠BAD = 44°.

Так как AC || BD, то ∠ABD = ∠BAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и BD и секущей AB).

Рассмотрим четырёхугольник ACBD, AC || BD, следовательно, это трапеция.

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC

∠ACB = ∠BAD = 44° (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу CD)

Так как AO = CO => ΔАОС равнобедренный, следовательно углы при основании равны => ∠ОАС = ∠ОСА = ∠BAD = 44°

∠ABC + ∠BAD = 180° (как внутренние односторонние при AC || BD и секущей AB)

∠ABC = 180° - ∠BAD = 180° - 44° = 136°

Ответ: ∠ABC = 136°