22. A В треугольнике АВС угол C равен 90°, угол А равен 30°, АВ = 2√3 Найдите высоту СН.

Смотри, тут всё просто: высота, проведённая из прямого угла, является катетом в образовавшихся прямоугольных треугольниках.

Логика такая:

1. В прямоугольном треугольнике ABC (\( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle A = 30^{\circ} \)) катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Значит, BC = AB/2 = (2√3)/2 = √3.


2. Теперь рассмотрим треугольник АВС, где известны гипотенуза АВ и катет ВС. Площадь этого треугольника можно найти двумя способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на высоту, проведённую к этой гипотенузе.


3. Выразим площадь треугольника АВС через катеты АС и ВС. Сначала найдем AC по теореме Пифагора: \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12 - 3} = \sqrt{9} = 3\]


4. Тогда площадь треугольника АВС равна: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\]


5. С другой стороны, площадь того же треугольника можно выразить через гипотенузу АВ и высоту СН: \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot CH = \sqrt{3} \cdot CH\]


6. Приравняем оба выражения для площади и найдём высоту CH:
   \[\sqrt{3} \cdot CH = \frac{3\sqrt{3}}{2}\]
   \[CH = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2} = 1.5\]

Ответ: СH = 1.5

Проверка за 10 секунд: Самый короткий катет в прямоугольном треугольнике с углом 30° всегда вдвое меньше гипотенузы.

Доп. профит: Читерский прием: Запомни формулу для высоты в прямоугольном треугольнике, проведенной к гипотенузе: она равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.