3. 20% автомобильных аккумуляторов изготавливают на заводе в городе Ю. Остальные – на заводе в г. Д. В городе Ю. в среднем случается 7,5% брака, а в городе Д. в среднем 2,5% брака. а) Найдите вероятность того, что случайный аккумулятор в магазине окажется бракованным. б) Известно, что покупатель Чернов приобрел бракованный аккумулятор. Чему теперь равна вероятность того, что этот аккумулятор изготовлен в Ю.? Результат округлите до тысячных. в) Известно, что покупатель Серов приобрел хороший аккумулятор. Чему теперь равна вероятность того, что этот аккумулятор изготовлен в Д.? Результат округлите до тысячных.

Решение: а) Найдем вероятность того, что случайный аккумулятор окажется бракованным. Пусть событие Ю - аккумулятор изготовлен в городе Ю, а событие Д - аккумулятор изготовлен в городе Д. Пусть событие Б - аккумулятор бракованный. Нам дано: $$P(Ю) = 0.2$$ (вероятность, что аккумулятор изготовлен в городе Ю) $$P(Д) = 1 - P(Ю) = 1 - 0.2 = 0.8$$ (вероятность, что аккумулятор изготовлен в городе Д) $$P(Б|Ю) = 0.075$$ (вероятность брака в городе Ю) $$P(Б|Д) = 0.025$$ (вероятность брака в городе Д) Нам нужно найти полную вероятность того, что аккумулятор бракованный, то есть $$P(Б)$$. По формуле полной вероятности: $$P(Б) = P(Б|Ю) * P(Ю) + P(Б|Д) * P(Д)$$ Подставляем известные значения: $$P(Б) = 0.075 * 0.2 + 0.025 * 0.8 = 0.015 + 0.02 = 0.035$$ б) Найдем вероятность, что бракованный аккумулятор изготовлен в городе Ю. Нам нужно найти условную вероятность $$P(Ю|Б)$$, то есть вероятность, что аккумулятор изготовлен в городе Ю, при условии, что он бракованный. По формуле Байеса: $$P(Ю|Б) = \frac{P(Б|Ю) * P(Ю)}{P(Б)}$$ Подставляем известные значения: $$P(Ю|Б) = \frac{0.075 * 0.2}{0.035} = \frac{0.015}{0.035} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7} ≈ 0.42857$$ Округляем до тысячных: 0.429 в) Найдем вероятность, что хороший аккумулятор изготовлен в городе Д. Пусть событие \overline{Б} - аккумулятор не бракованный (хороший). Нам нужно найти условную вероятность $$P(Д|\overline{Б})$$, то есть вероятность, что аккумулятор изготовлен в городе Д, при условии, что он хороший. Сначала найдем вероятность, что аккумулятор хороший: $$P(\overline{Б}) = 1 - P(Б) = 1 - 0.035 = 0.965$$ Теперь найдем вероятность, что аккумулятор хороший, при условии, что он изготовлен в городе Д: $$P(\overline{Б}|Д) = 1 - P(Б|Д) = 1 - 0.025 = 0.975$$ По формуле Байеса: $$P(Д|\overline{Б}) = \frac{P(\overline{Б}|Д) * P(Д)}{P(\overline{Б})}$$ Подставляем известные значения: $$P(Д|\overline{Б}) = \frac{0.975 * 0.8}{0.965} = \frac{0.78}{0.965} ≈ 0.80829$$ Округляем до тысячных: 0.808 Ответ: а) 0.035; б) 0.429; в) 0.808