б) Из одной точки проведены касательная АВ и секущая АС, точка В - точка касания. Отрезок АС пересекает окружность в точке Р. Найдите АР, если АВ-8, a PC-12.

Используем теорему о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. В данном случае, $$AB$$ - касательная, $$AC$$ - секущая, а $$AP$$ и $$PC$$ - части секущей. Теорема гласит: $$AB^2 = AP \cdot AC$$. Нам дано $$AB = 8$$ и $$PC = 12$$. Пусть $$AP = x$$. Тогда $$AC = AP + PC = x + 12$$. Подставим известные значения в уравнение: $$8^2 = x(x + 12)$$ $$64 = x^2 + 12x$$ Перенесем все в одну сторону, чтобы решить квадратное уравнение: $$x^2 + 12x - 64 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a=1$$, $$b=12$$, $$c=-64$$. $$D = 12^2 - 4(1)(-64) = 144 + 256 = 400$$ Найдем корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + \sqrt{400}}{2(1)} = \frac{-12 + 20}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - \sqrt{400}}{2(1)} = \frac{-12 - 20}{2} = \frac{-32}{2} = -16$$ Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то $$AP = x = 4$$. Ответ: 4