б) На рисунке изображён график функции y = f(x). Найдите F(5) – F(2), где F(x) – одна из первообразных функции f(x).

Краткое пояснение:

По теореме Ньютона-Лейбница, разность значений первообразной в двух точках равна определённому интегралу функции между этими точками. В данном случае, нам нужно найти площадь под графиком функции f(x) на отрезке [2, 5].

Решение:

График функции y = f(x) на отрезке [0, 4] представляет собой горизонтальную линию на уровне y = 2. На отрезке [4, 8] функция линейно убывает от 2 до 0.

Шаг 1: Определяем значение функции f(x) на отрезке [2, 5].

• На отрезке [2, 4], f(x) = 2.
• На отрезке [4, 5], функция линейно убывает от 2 до 0. Уравнение прямой: y - 0 = —(x - 8) / (4 - 8) * (x - 8) => y = -2/(-4) * (x - 8) = 1/2 * (x - 8). Для x=5, y = 1/2 * (5 - 8) = -3/2. Но график показывает, что на отрезке [4, 8] функция убывает от 2 до 0. Значит, уравнение прямой: y - 2 = —(2-0) / (4-8) * (x - 4) => y - 2 = -2/(-4) * (x - 4) => y - 2 = 1/2 * (x - 4) => y = 1/2 * x - 2 + 2 => y = 1/2 * x. Это неверно. Возьмем точки (4, 2) и (8, 0). Уравнение прямой: (y - 0) / (x - 8) = (2 - 0) / (4 - 8) = 2 / -4 = -1/2. y = -1/2 * (x - 8) = -1/2 * x + 4. Для x=5, y = -1/2 * 5 + 4 = -2.5 + 4 = 1.5.

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл от 2 до 5.

• Интеграл от 2 до 4: ∫_2^4 2 dx = [2x]_2^4 = 2*4 - 2*2 = 8 - 4 = 4.
• Интеграл от 4 до 5: ∫_4^5 (-1/2 * x + 4) dx = [-1/4 * x^2 + 4x]_4^5 = (-1/4 * 5^2 + 4*5) - (-1/4 * 4^2 + 4*4) = (-25/4 + 20) - (-16/4 + 16) = (-6.25 + 20) - (-4 + 16) = 13.75 - 12 = 1.75.
• Общий интеграл: 4 + 1.75 = 5.75.

Ответ: 5.75