в) На рисунке изображён график функции y = f(x). Найдите F(10) - F(-2), где F(x) – одна из первообразных функции f(x).

Краткое пояснение:

По теореме Ньютона-Лейбница, разность значений первообразной F(x) в точках 10 и -2 равна определённому интегралу функции f(x) на отрезке [-2, 10].

Решение:

Необходимо вычислить площадь под графиком функции y = f(x) на отрезке от -2 до 10. График состоит из нескольких линейных участков.

Шаг 1: Определяем значения функции f(x) на различных отрезках.

• На отрезке [-2, 1]: Функция линейно возрастает от y=2 до y=5. Уравнение прямой: (y - 2) / (x - (-2)) = (5 - 2) / (1 - (-2)) = 3 / 3 = 1. => y - 2 = x + 2 => y = x + 4.
• На отрезке [1, 2]: Функция линейно убывает от y=5 до y=3. Уравнение прямой: (y - 5) / (x - 1) = (3 - 5) / (2 - 1) = -2 / 1 = -2. => y - 5 = -2(x - 1) => y = -2x + 2 + 5 => y = -2x + 7.
• На отрезке [2, 4]: Функция линейно убывает от y=3 до y=2. Уравнение прямой: (y - 3) / (x - 2) = (2 - 3) / (4 - 2) = -1 / 2. => y - 3 = -1/2 * (x - 2) => y = -1/2 * x + 1 + 3 => y = -1/2 * x + 4.
• На отрезке [4, 8]: Функция линейно убывает от y=2 до y=1. Уравнение прямой: (y - 2) / (x - 4) = (1 - 2) / (8 - 4) = -1 / 4. => y - 2 = -1/4 * (x - 4) => y = -1/4 * x + 1 + 2 => y = -1/4 * x + 3.
• На отрезке [8, 10]: Функция линейно возрастает от y=1 до y=2. Уравнение прямой: (y - 1) / (x - 8) = (2 - 1) / (10 - 8) = 1 / 2. => y - 1 = 1/2 * (x - 8) => y = 1/2 * x - 4 + 1 => y = 1/2 * x - 3.

Шаг 2: Вычисляем интегралы по каждому отрезку.

• ∫_{-2}^1 (x + 4) dx = [x^2/2 + 4x]_{-2}^1 = (1/2 + 4) - (4/2 - 8) = 4.5 - (2 - 8) = 4.5 - (-6) = 10.5.
• ∫_1^2 (-2x + 7) dx = [-x^2 + 7x]_1^2 = (-4 + 14) - (-1 + 7) = 10 - 6 = 4.
• ∫_2^4 (-1/2 * x + 4) dx = [-x^2/4 + 4x]_2^4 = (-16/4 + 16) - (-4/4 + 8) = (-4 + 16) - (-1 + 8) = 12 - 7 = 5.
• ∫_4^8 (-1/4 * x + 3) dx = [-x^2/8 + 3x]_4^8 = (-64/8 + 24) - (-16/8 + 12) = (-8 + 24) - (-2 + 12) = 16 - 10 = 6.
• ∫_8^10 (1/2 * x - 3) dx = [x^2/4 - 3x]_8^10 = (100/4 - 30) - (64/4 - 24) = (25 - 30) - (16 - 24) = -5 - (-8) = 3.

Шаг 3: Суммируем полученные интегралы.

• Общая площадь = 10.5 + 4 + 5 + 6 + 3 = 28.5.

Ответ: 28.5