г) На рисунке изображён график функции y = f(x). Найдите F(10) - F(-2,5), где F(x) – одна из первообразных функции f(x).

Краткое пояснение:

По теореме Ньютона-Лейбница, разность значений первообразной F(x) в точках 10 и -2.5 равна определённому интегралу функции f(x) на отрезке [-2.5, 10].

Решение:

Необходимо вычислить площадь под графиком функции y = f(x) на отрезке от -2.5 до 10.

Шаг 1: Определяем значения функции f(x) на различных отрезках.

• На отрезке [-2, 0]: Функция линейно убывает от y=4 до y=3. Уравнение прямой: (y - 4) / (x - (-2)) = (3 - 4) / (0 - (-2)) = -1 / 2. => y - 4 = -1/2 * (x + 2) => y = -1/2 * x - 1 + 4 => y = -1/2 * x + 3.
• На отрезке [-2.5, -2]: Предположим, что функция продолжает линейно убывать. Если на [-2,0] y=4 при x=-2, то при x=-2.5, y = -1/2 * (-2.5) + 3 = 1.25 + 3 = 4.25. Но по рисунку видно, что на отрезке [-2, 0] функция начинается с y=4 и заканчивается y=3. Если предположить, что на отрезке [-2, 0] функция линейна, то y(-2)=4, y(0)=3. Уравнение: y - 4 = —(3-4) / (0-(-2)) * (x - (-2)) => y - 4 = -1/2 * (x + 2) => y = -1/2 * x - 1 + 4 => y = -1/2 * x + 3.
• На отрезке [-2.5, -2]: Если функция продолжает ту же закономерность, то при x=-2.5, y = -1/2 * (-2.5) + 3 = 1.25 + 3 = 4.25.
• На отрезке [0, 1]: Функция линейно возрастает от y=3 до y=5. Уравнение прямой: (y - 3) / (x - 0) = (5 - 3) / (1 - 0) = 2 / 1 = 2. => y - 3 = 2x => y = 2x + 3.
• На отрезке [1, 2]: Функция линейно убывает от y=5 до y=3. Уравнение прямой: (y - 5) / (x - 1) = (3 - 5) / (2 - 1) = -2 / 1 = -2. => y - 5 = -2(x - 1) => y = -2x + 2 + 5 => y = -2x + 7.
• На отрезке [2, 4]: Функция линейно убывает от y=3 до y=2. Уравнение прямой: (y - 3) / (x - 2) = (2 - 3) / (4 - 2) = -1 / 2. => y - 3 = -1/2 * (x - 2) => y = -1/2 * x + 1 + 3 => y = -1/2 * x + 4.
• На отрезке [4, 7]: Функция линейно убывает от y=2 до y=1. Уравнение прямой: (y - 2) / (x - 4) = (1 - 2) / (7 - 4) = -1 / 3. => y - 2 = -1/3 * (x - 4) => y = -1/3 * x + 4/3 + 2 => y = -1/3 * x + 10/3.
• На отрезке [7, 9]: Функция линейно возрастает от y=1 до y=3. Уравнение прямой: (y - 1) / (x - 7) = (3 - 1) / (9 - 7) = 2 / 2 = 1. => y - 1 = x - 7 => y = x - 6.
• На отрезке [9, 10]: Функция линейно возрастает от y=3 до y=2. Уравнение прямой: (y - 3) / (x - 9) = (2 - 3) / (10 - 9) = -1 / 1 = -1. => y - 3 = -(x - 9) => y = -x + 9 + 3 => y = -x + 12.

Шаг 2: Вычисляем интегралы по каждому отрезку.

• ∫_{-2.5}^{-2} (-1/2 * x + 3) dx = [-1/4 * x^2 + 3x]_{-2.5}^{-2} = (-1/4 * (-2)^2 + 3*(-2)) - (-1/4 * (-2.5)^2 + 3*(-2.5)) = (-1 + (-6)) - (-1/4 * 6.25 - 7.5) = -7 - (-1.5625 - 7.5) = -7 - (-9.0625) = 2.0625.
• ∫_{-2}^0 (-1/2 * x + 3) dx = [-1/4 * x^2 + 3x]_{-2}^0 = (0) - (-1/4 * (-2)^2 + 3*(-2)) = 0 - (-1 + (-6)) = 7.
• ∫_0^1 (2x + 3) dx = [x^2 + 3x]_0^1 = (1 + 3) - (0) = 4.
• ∫_1^2 (-2x + 7) dx = [-x^2 + 7x]_1^2 = (-4 + 14) - (-1 + 7) = 10 - 6 = 4.
• ∫_2^4 (-1/2 * x + 4) dx = [-x^2/4 + 4x]_2^4 = (-16/4 + 16) - (-4/4 + 8) = (-4 + 16) - (-1 + 8) = 12 - 7 = 5.
• ∫_4^7 (-1/3 * x + 10/3) dx = [-x^2/6 + 10x/3]_4^7 = (-49/6 + 70/3) - (-16/6 + 40/3) = (-49/6 + 140/6) - (-16/6 + 80/6) = 91/6 - 64/6 = 27/6 = 4.5.
• ∫_7^9 (x - 6) dx = [x^2/2 - 6x]_7^9 = (81/2 - 54) - (49/2 - 42) = (40.5 - 54) - (24.5 - 42) = -13.5 - (-17.5) = 4.
• ∫_9^10 (-x + 12) dx = [-x^2/2 + 12x]_9^10 = (-100/2 + 120) - (-81/2 + 108) = (-50 + 120) - (-40.5 + 108) = 70 - 67.5 = 2.5.

Шаг 3: Суммируем полученные интегралы.

• Общая площадь = 2.0625 + 7 + 4 + 4 + 5 + 4.5 + 4 + 2.5 = 33.0625.

Ответ: 33.0625