16. Б) Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках Ки Р соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отрезка КР, если АР=21, а сторона ВС в 1,4 раза меньше стороны АВ.

Поскольку окружность проходит через точки B, C, K и P, четырёхугольник BCPK является вписанным в окружность. По свойству вписанного четырёхугольника, сумма противоположных углов равна 180 градусам. Значит, \(\angle BKP + \angle BCP = 180^\circ\). Также, \(\angle BKP + \angle AKP = 180^\circ\) (смежные углы). Следовательно, \(\angle BCP = \angle AKP\). Рассмотрим треугольники AKP и ACB. У них \(\angle A\) - общий, и \(\angle AKP = \angle ACB\). Следовательно, треугольники AKP и ACB подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $$\frac{AK}{AC} = \frac{AP}{AB} = \frac{KP}{BC}$$ Известно, что AP = 21, и BC = AB / 1.4. Тогда AB = 1.4 * BC. $$\frac{AP}{AB} = \frac{21}{1.4 \cdot BC} = \frac{15}{BC}$$ Также известно, что \(\frac{KP}{BC} = \frac{AP}{AB}\). Тогда \(KP = BC \cdot \frac{AP}{AB} = BC \cdot \frac{15}{BC} = 15\). Следовательно, длина отрезка KP равна 15. Ответ: 15