Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 4, BC = 16, CF: DF = 5:3.

Решение: 1. **Введем обозначения и используем подобие:** Пусть ( CF = 5x ), тогда ( DF = 3x ). Следовательно, ( CD = CF + DF = 5x + 3x = 8x ). 2. **Проведем через точку ( C ) прямую, параллельную ( AB ), до пересечения с ( AD ) в точке ( K ).** Тогда ( AK = BC = 16 ), а ( KD = AD - AK = 4 - 16 = -12 ). Здесь мы видим, что ( AD < BC ), поэтому для удобства изменим обозначения: пусть ( AD = 16 ), ( BC = 4 ). Тогда ( KD = AD - AK = 16 - 4 = 12 ). 3. **Рассмотрим треугольник ( CKD ).** Проведем отрезок ( CF ), который делит треугольник на два подобных треугольника, так как ( EF ) параллельна ( AD ) и ( BC ), и, следовательно, параллельна ( KD ). Пусть ( L ) — точка пересечения ( EF ) и ( CK ). Тогда ( LF || KD ). 4. **Применим теорему о пропорциональных отрезках (теорему Фалеса):** ( \frac{CL}{CK} = \frac{CF}{CD} = \frac{5x}{8x} = \frac{5}{8} ). Отсюда следует, что ( \frac{CL}{LK} = \frac{5}{3} ). 5. **Найдем длину ( LF ):** Так как ( LF || KD ), то ( \frac{LF}{KD} = \frac{CF}{CD} = \frac{5}{8} ). ( LF = \frac{5}{8} \cdot KD = \frac{5}{8} \cdot 12 = \frac{60}{8} = \frac{15}{2} = 7.5 ). 6. **Найдем длину ( EL ):** Так как ( EL = BC = 4 ), то ( EL = 4 ). 7. **Найдем длину ( EF ):** ( EF = EL + LF = 4 + 7.5 = 11.5 ). Ответ: 11.5