B основании прямой призмы АВСА₁В₁С₁ – треугольник АВС, у ко- торого ∠C = 90°, AB = 2, ∠BAC = 30°, ∠B₁AB = 45°. Найдите площадь тре- угольника А₁СВ. 1) 2√6 3) √7 2 2 2) √5 4) 3√4

Рассмотрим треугольник АВС. Он прямоугольный, так как ∠C = 90°. АВ = 2, ∠BAC = 30°. Следовательно, катет ВС, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы АВ, то есть ВС = 1.

Найдем катет АС по теореме Пифагора:

$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник А₁АВ. ∠B₁AB = 45°. Следовательно, треугольник А₁АВ - равнобедренный, А₁А = АВ = 2.

Теперь рассмотрим треугольник А₁СВ. Найдем его площадь. Проведем высоту СН к стороне А₁В. Так как А₁СВ - пирамида с основанием А₁СВ и вершиной в точке С, то объем этой пирамиды равен $$V = \frac{1}{3}S_{A_1CB} \cdot CH$$.

С другой стороны, объем пирамиды равен $$V = \frac{1}{6} V_{параллелепипеда}$$, где $$V_{параллелепипеда} = S_{ABC} \cdot A_1A$$.

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

$$V_{параллелепипеда} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}$$.

$$V = \frac{1}{6} \sqrt{3}$$.

Треугольник А₁СВ является прямоугольным, так как А₁С перпендикулярна СВ. Поэтому $$S_{A_1CB} = \frac{1}{2} \cdot A_1C \cdot CB$$.

$$A_1C = \sqrt{A_1A^2 + AC^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7}$$.

$$S_{A_1CB} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{7} \cdot 1 = \frac{\sqrt{7}}{2}$$.

Ответ: 3) $$\frac{\sqrt{7}}{2}$$