В основании прямой призмы лежит ромб со стороной 6 см и углом 60°. Меньшая диагональ призмы наклонена к основанию под углом 45°. Найдите длину большей диагонали. 1) 12 см 3) 6√2 см 2) 6√3 см 4) 14 см

В основании прямой призмы лежит ромб со стороной 6 см и углом 60°. Меньшая диагональ призмы наклонена к основанию под углом 45°. Необходимо найти длину большей диагонали.

Пусть дан ромб ABCD с углом ∠BAD = 60°. Тогда меньшая диагональ BD противолежит этому углу. Большая диагональ AC противолежит углу 120°.

Так как угол ∠BAD = 60°, то треугольник ABD - равносторонний, и меньшая диагональ BD = 6 см.

Найдем большую диагональ AC. По теореме косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(120°) = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = 36 + 36 + 36 = 108$$

$$AC = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$$.

Меньшая диагональ призмы (боковая) наклонена к основанию под углом 45°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный меньшей диагональю призмы, высотой призмы и меньшей диагональю основания.

Пусть B₁D - меньшая диагональ призмы. Угол ∠B₁DB = 45°. Тогда $$BB_1 = BD = 6$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁AC. Найдем $$A_1C = \sqrt{AA_1^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 108} = \sqrt{144} = 12$$.

Ответ: 1) 12 см