3Б. Высоту равностороннего треугольника можно вычислить по формуле (h = \frac{a\sqrt{3}}{2}), где (a) – сторона равностороннего треугольника, (h) – его высота. Найдите длину стороны, если радиус окружности, описанной около этого треугольника равен (\frac{20}{\sqrt{3}}) и составляет две трети высоты.

Нам дана формула высоты равностороннего треугольника: (h = \frac{a\sqrt{3}}{2}) Также известно, что радиус описанной окружности (R = \frac{20}{\sqrt{3}}) и что он составляет две трети высоты, то есть (R = \frac{2}{3}h). Сначала найдем высоту (h): \(\frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3}h\) Умножим обе стороны на (\frac{3}{2}\): ( \frac{20}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2} = h) ( \frac{60}{2\sqrt{3}} = h) ( \frac{30}{\sqrt{3}} = h) Умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{3}\), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе: (h = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}) Теперь, когда мы знаем высоту, мы можем найти сторону (a), используя формулу высоты: (10\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}) Умножим обе стороны на 2: (20\sqrt{3} = a\sqrt{3}) Разделим обе стороны на (\sqrt{3}\): (a = 20) Таким образом, длина стороны равностороннего треугольника равна 20. Ответ: 20