B1 Диагональ прямоугольника делит его угол в отношении 1 : 2. Найдите меньшую сторону прямоугольника, если его диагональ равна 48 см.

Задание B1

Дано:

• Диагональ прямоугольника \( d = 48 \) см.
• Диагональ делит угол в отношении \( 1:2 \).

Найти: меньшую сторону прямоугольника.

Решение:

1. Пусть углы, на которые диагональ делит угол прямоугольника, равны \( \alpha \) и \( 2\alpha \). Так как угол прямоугольника равен \( 90^ \), то \( \alpha + 2\alpha = 90^ \).
2. Из этого следует, что \( 3\alpha = 90^ \), значит \( \alpha = 30^ \) и \( 2\alpha = 60^ \).
3. В прямоугольном треугольнике, образованном диагональю и сторонами прямоугольника, углы равны \( 30^ \) и \( 60^ \).
4. Меньшая сторона прямоугольника лежит напротив меньшего острого угла (\( 30^ \)).
5. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в \( 30^ \), равен половине гипотенузы.
6. Следовательно, меньшая сторона \( a = \frac{1}{2} d = \frac{1}{2} 48 = 24 \) см.

Ответ: 24 см.