B3 В прямоугольной трапеции углы при большей боковой стороне относятся как 1 : 3. Найдите большее основание трапеции, если известно, что высота, проведенная из вершины тупого угла, отсекает от нее квадрат, сторона которого равна 18 см.

Задание B3

Дано:

• Прямоугольная трапеция ABCD, где AD || BC, AB ⊥ AD и AB ⊥ BC.
• Углы при большей боковой стороне (CD) относятся как \( 1:3 \).
• Высота, проведенная из вершины тупого угла (C), отсекает квадрат.
• Сторона квадрата равна 18 см.

Найти: большее основание трапеции.

Решение:

1. Пусть ABCD — прямоугольная трапеция. AB — высота, \( AB = 18 \) см.
2. Из вершины C проведем перпендикуляр CK к основанию AD. Так как ABCD — прямоугольная трапеция, то ABKC — прямоугольник. Следовательно, \( CK = AB = 18 \) см и \( AK = BC = 18 \) см.
3. Углы при большей боковой стороне CD относятся как \( 1:3 \). В прямоугольной трапеции углы при основании AD равны \( 90^ \). Угол \( D \) — острый, угол \( C \) — тупой.
4. Большая боковая сторона — CD. Углы при ней — \( D \) и \( C \).
5. По условию, \( D : C = 1:3 \).
6. Рассмотрим треугольник CKD. Это прямоугольный треугольник, так как CK ⊥ AD.
7. Угол \( D \) — острый угол этого треугольника.
8. Угол \( C \) трапеции равен \( KCD + ACK \). Так как ABKC — прямоугольник, \( ACK = 90^ \).
9. Значит, \( C = KCD + 90^ \).
10. Сумма углов \( D + C = 180^ \) (как углы, прилежащие к боковой стороне трапеции).
11. Пусть \( D = x \). Тогда \( C = 3x \).
12. \( x + 3x = 180^ \) \( → \) \( 4x = 180^ \) \( → \) \( x = 45^ \).
13. Значит, \( D = 45^ \) и \( C = 3 45^ = 135^ \).
14. Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику CKD. Угол \( D = 45^ \), угол \( CKD = 90^ \). Следовательно, угол \( CKD = 180^ - 90^ - 45^ = 45^ \).
15. Треугольник CKD — равнобедренный прямоугольный треугольник. \( CK = KD = 18 \) см.
16. Теперь найдем большее основание AD. \( AD = AK + KD \).
17. \( AD = 18 + 18 = 36 \) см.

Ответ: 36 см.