B2 В параллелограмме ABCD с равными смежными сторонами острый угол А равен 60°. Из вершины В опущен перпендикуляр ВК к стороне AD. Отрезок АК равен 6 мм. Найдите периметр треугольника BCD.

Задание B2

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• \( AB = BC = CD = DA \) (по условию «равные смежные стороны», значит, это ромб).
• \( A = 60^ \).
• BK ⊥ AD, K ∈ AD.
• \( AK = 6 \) мм.

Найти: периметр треугольника BCD.

Решение:

1. Так как ABCD — параллелограмм с равными смежными сторонами, это ромб. У ромба все стороны равны.
2. В ромбе углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают \( 180^ \). Угол \( D = 180^ - A = 180^ - 60^ = 120^ \).
3. Рассмотрим треугольник ABK. Угол \( A = 60^ \), угол \( AKB = 90^ \). Следовательно, угол \( ABK = 180^ - 90^ - 60^ = 30^ \).
4. В треугольнике ABK катет AK лежит напротив угла ABK (\( 30^ \)). Катет, лежащий напротив угла в \( 30^ \), равен половине гипотенузы.
5. Гипотенуза в этом треугольнике — сторона AB. Значит, \( AB = 2 AK = 2 6 = 12 \) мм.
6. Так как ABCD — ромб, все его стороны равны: \( AB = BC = CD = DA = 12 \) мм.
7. Периметр треугольника BCD равен сумме длин его сторон: \( P_{ BCD} = BC + CD + BD \).
8. В ромбе диагонали делят углы пополам. Диагональ BD делит угол \( B \) и угол \( D \).
9. Рассмотрим треугольник ABD. \( AB = AD = 12 \) мм, угол \( A = 60^ \). Это равнобедренный треугольник с углом \( 60^ \) при вершине, значит, он равносторонний. \( BD = AB = AD = 12 \) мм.
10. Таким образом, периметр треугольника BCD: \( P_{ BCD} = 12 + 12 + 12 = 36 \) мм.

Ответ: 36 мм.