B1. Точки А и В делят окружность с центром О на дуги АМВ и АСВ так, что дуга АСВ на 60° меньше дуги АМВ. АМ – диаметр окружности. Найдите величины углов АМВ, ABM, ACB.

Решение:

Обозначим дугу АСВ как x. Тогда дуга АМВ будет x + 60°.

Сумма дуг окружности равна 360°, поэтому:

• \[ x + (x + 60°) = 360° \]
• \[ 2x = 300° \]
• \[ x = 150° \]

Следовательно, дуга АСВ = 150°, а дуга АМВ = 150° + 60° = 210°.

Угол АМВ:

Угол АМВ является вписанным и опирается на дугу АСВ. Поэтому:

• \[ \angle AMB = \frac{1}{2} \text{дуга } ACB = \frac{1}{2} imes 150° = 75° \]

Угол ABM:

Треугольник АОМ - равнобедренный (ОА=ОМ - радиусы), так как АМ - диаметр. Угол АОМ = 180°.

Угол АОВ - центральный, равен дуге АВ. Дуга АВ = 360° - дуга АМВ - дуга АСВ = 360° - 210° - 150° = 0°. Это невозможно, значит, точки А и В делят окружность на две дуги, одна из которых АСВ, а другая АМВ.

Пусть дуга АМВ = $$\alpha$$, а дуга АСВ = $$\beta$$.

По условию $$\beta = \alpha - 60°$$.

Сумма дуг: $$\alpha + \beta = 360°$$

$$\alpha + (\alpha - 60°) = 360°$$

$$2\alpha = 420°$$

$$\alpha = 210°$$ (дуга АМВ)

$$\beta = 210° - 60° = 150°$$ (дуга АСВ)

Угол АМВ:

Угол АМВ - вписанный, опирается на дугу АСВ. Угол АМВ = $$\frac{1}{2} \beta = \frac{1}{2} \times 150° = 75°$$.

Угол ABM:

Угол АВМ - вписанный, опирается на дугу АМ. Поскольку АМ - диаметр, дуга АМ = 180°. Нам нужно найти дугу АВ. Дуга АВ = дуга АМВ - дуга МВ. Или дуга АВ = дуга АСВ - дуга СВ.

Дуга AB = 360° - 210° = 150°.

Угол АОМ = 180° (развернутый угол, АМ - диаметр). Угол АОВ - центральный, равен дуге АВ = 150°.

Треугольник АОВ - равнобедренный (ОА=ОВ - радиусы).

\[ \angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - 150°}{2} = 15° \]

Угол АВМ = 15°.

Угол ACB:

Угол ACB - вписанный, опирается на диаметр AM. Следовательно, он равен 90°.

Угол ACB:

Угол ACB - вписанный, опирается на дугу AMB. Дуга AMB = 210°.

Угол ACB = $$\frac{1}{2}$$ дуга AMB = $$\frac{1}{2} \times 210° = 105°$$.

Проверка:

В треугольнике АМВ сумма углов:

\[ \angle AMB + \angle MAB + \angle MBA = 75° + \angle MAB + 15° = 90° + \angle MAB \]

Угол MAB - вписанный, опирается на дугу МВ. Дуга МВ = дуга АМВ - дуга АМ = 210° - 180° = 30°.

\[ \angle MAB = \frac{1}{2} ext{дуга } MB = \frac{1}{2} imes 30° = 15° \]

Сумма углов треугольника АМВ = $$75° + 15° + 15° = 105°$$. Неверно.

Пересмотр:

Дуга АСВ = 150°, Дуга АМВ = 210°.

1. Угол АМВ:

Вписанный угол, опирается на дугу АСВ.

\[ \angle AMB = \frac{1}{2} ext{дуга } ACB = \frac{1}{2} imes 150° = 75° \]

2. Угол ABM:

Треугольник АОВ - равнобедренный, ОА=ОВ. Угол АОВ - центральный, равен дуге АВ.

Дуга АВ = 360° - дуга АМВ = 360° - 210° = 150°.

\[ \angle AOB = 150° \]

Углы при основании равнобедренного треугольника АОВ:

\[ \angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - 150°}{2} = 15° \]

Угол ABM = $$\angle OBA$$ = 15°.

3. Угол ACB:

Угол ACB - вписанный, опирается на дугу АМВ.

\[ \angle ACB = \frac{1}{2} ext{дуга } AMB = \frac{1}{2} imes 210° = 105° \]

Ответ: Угол АМВ = 75°, Угол ABM = 15°, Угол ACB = 105°.