B2. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е так, что АЕ = 3 см, ВЕ = 36 см, СЕ: DE = 3 : 4. Найдите длину хорды CD.

Решение:

По условию задачи:

• \[ AE = 3 ext{ см} \]
• \[ BE = 36 ext{ см} \]
• \[ CE : DE = 3 : 4 \]

По теореме о пересекающихся хордах в окружности, произведение отрезков пересекающихся хорд равны:

• \[ AE imes BE = CE imes DE \]

Подставим известные значения:

• \[ 3 imes 36 = CE imes DE \]
• \[ 108 = CE imes DE \]

Из отношения \[ CE : DE = 3 : 4 \] мы можем выразить отрезки через переменную x:

• \[ CE = 3x \]
• \[ DE = 4x \]

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

• \[ 108 = (3x) imes (4x) \]
• \[ 108 = 12x^2 \]
• \[ x^2 = \frac{108}{12} \]
• \[ x^2 = 9 \]
• \[ x = 3 ext{ (так как длина не может быть отрицательной)} \]

Теперь найдем длины отрезков CE и DE:

• \[ CE = 3x = 3 imes 3 = 9 ext{ см} \]
• \[ DE = 4x = 4 imes 3 = 12 ext{ см} \]

Длина хорды CD равна сумме длин отрезков CE и DE:

• \[ CD = CE + DE = 9 ext{ см} + 12 ext{ см} = 21 ext{ см} \]

Ответ: Длина хорды CD равна 21 см.