B3. Окружность с центром О и радиуса 16 см описана около треугольника АВС так, что ∠OAB = 30°, ∠OCB = 45°. Найдите длины сторон АВ и ВС треугольника.

Решение:

Окружность с центром О и радиусом R = 16 см описана около треугольника АВС.

1. Находим длину стороны AB:

Рассмотрим треугольник АОВ. Так как ОА и ОВ - радиусы окружности, то треугольник АОВ - равнобедренный (ОА = ОВ = R = 16 см).

Угол при основании ОАВ равен 30°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол АОВ:

• \[ ∠ AOB = 180° - (∠ OAB + ∠ OBA) \]
• \[ ∠ AOB = 180° - (30° + 30°) \]
• \[ ∠ AOB = 180° - 60° = 120° \]

Теперь найдем длину стороны АВ, используя теорему косинусов для треугольника АОВ:

• \[ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 imes OA imes OB imes ᥱ ᥱ ∠ AOB \]
• \[ AB^2 = 16^2 + 16^2 - 2 imes 16 imes 16 imes ᥱ ᥱ 120° \]
• \[ AB^2 = 256 + 256 - 2 imes 256 imes (-rac{1}{2}) \]
• \[ AB^2 = 512 + 256 \]
• \[ AB^2 = 768 \]
• \[ AB = √768 = √(256 imes 3) = 16√3 ext{ см} \]

2. Находим длину стороны BC:

Рассмотрим треугольник BOC. Так как ОВ и ОС - радиусы окружности, то треугольник BOC - равнобедренный (ОВ = ОС = R = 16 см).

Угол при основании OCB равен 45°.

Найдем угол BOC:

• \[ ∠ BOC = 180° - (∠ OCB + ∠ OBC) \]
• \[ ∠ BOC = 180° - (45° + 45°) \]
• \[ ∠ BOC = 180° - 90° = 90° \]

Треугольник BOC - прямоугольный и равнобедренный.

Найдем длину стороны BC, используя теорему Пифагора:

• \[ BC^2 = OB^2 + OC^2 \]
• \[ BC^2 = 16^2 + 16^2 \]
• \[ BC^2 = 256 + 256 \]
• \[ BC^2 = 512 \]
• \[ BC = √512 = √(256 imes 2) = 16√2 ext{ см} \]

Ответ: Длина стороны AB равна $$16√3$$ см, длина стороны BC равна $$16√2$$ см.