B15. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, угол В равен 36°. Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке М. Найдите величину угла АМС.

Решение:

Дано: \( △ABC \), \( AB = BC \), \( ∠B = 36° \). AM и CM — биссектрисы углов A и C соответственно. Найти \( ∠AMC \).

1. Найдем углы при основании треугольника ABC:

Так как \( AB = BC \), треугольник ABC — равнобедренный. Углы при основании A и C равны.

\( ∠A = ∠C \)

Сумма углов треугольника: \( ∠A + ∠B + ∠C = 180° \)

\( ∠A + 36° + ∠A = 180° \)

\( 2∠A = 180° - 36° \)

\( 2∠A = 144° \)

\( ∠A = 72° \)

Значит, \( ∠C = 72° \).

2. Найдем углы, образованные биссектрисами:

AM — биссектриса угла A, значит, делит его пополам:

\( ∠MAC = ∠A / 2 = 72° / 2 = 36° \)

CM — биссектриса угла C, значит, делит его пополам:

\( ∠MCA = ∠C / 2 = 72° / 2 = 36° \)

3. Найдем угол AMC в треугольнике AMC:

Сумма углов треугольника AMC: \( ∠MAC + ∠MCA + ∠AMC = 180° \)

\( 36° + 36° + ∠AMC = 180° \)

\( 72° + ∠AMC = 180° \)

\( ∠AMC = 180° - 72° \)

\( ∠AMC = 108° \)

Ответ: 108