B2 Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость баржи (в км/ч), а \( u \) — скорость течения реки. По условию \( u = 5 \) км/ч.

Скорость баржи по течению: \( v + u = v + 5 \) км/ч.

Скорость баржи против течения: \( v - u = v - 5 \) км/ч.

Время, затраченное на путь по течению: \( t_1 = \frac{40}{v+5} \) ч.

Время, затраченное на путь против течения: \( t_2 = \frac{30}{v-5} \) ч.

Общее время в пути составило 5 часов: \( t_1 + t_2 = 5 \).

\( \frac{40}{v+5} + \frac{30}{v-5} = 5 \)

Приведём к общему знаменателю \( (v+5)(v-5) = v^2 - 25 \) (при условии \( v > 5 \) для движения против течения).

\( 40(v-5) + 30(v+5) = 5(v^2 - 25) \)

\( 40v - 200 + 30v + 150 = 5v^2 - 125 \)

\( 70v - 50 = 5v^2 - 125 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 5v^2 - 70v - 125 + 50 = 0 \)

\( 5v^2 - 70v - 75 = 0 \)

Разделим всё уравнение на 5:

\( v^2 - 14v - 15 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-14)^2 - 4(1)(-15) = 196 + 60 = 256 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{256} = 16 \).

Найдем корни:

\( v_1 = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)

\( v_2 = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, \( v = 15 \) км/ч. Это значение больше 5, что соответствует условию.

Ответ: 15 км/ч