B2. Через середину M стороны AB треугольника ABC проведена плоскость, параллельная прямой AC и пересекающая сторону BC в точке K. Докажите, что MK — средняя линия треугольника ABC.

Рассмотрим плоскость ABC. Проведённая плоскость пересекает её по прямой MK, поскольку M и K принадлежат обеим плоскостям. Эта линия пересечения параллельна AC: если бы MK пересекала AC, то точка пересечения принадлежала бы обеим плоскостям, а тогда в проведённой плоскости оказалась бы прямая AC, что противоречит тому, что её пересечение с плоскостью ABC — прямая MK, отличная от AC.

Итак, MK ∥ AC. Точка M — середина AB. По обратной теореме о средней линии треугольника прямая, проходящая через середину одной стороны и параллельная другой стороне, делит третью сторону пополам. Следовательно, BK = KC, и MK — средняя линия треугольника ABC.