B2. Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А равно 17 см, AB = 5 см, ∠D = 45°. Найдите длину вектора AC.

Решение:

Дана прямоугольная трапеция ABCD, где \( \angle A = 90^{\circ} \).

Известно:

• Основание \( AD = 17 \text{ см} \)
• Боковая сторона \( AB = 5 \text{ см} \)
• Угол \( \angle D = 45^{\circ} \)

Так как \( AB \) перпендикулярно \( AD \) и \( AB \) перпендикулярно \( BC \) (по свойству прямоугольной трапеции), то \( AB \) является высотой трапеции.

Чтобы найти длину вектора \( \vec{AC} \), нам нужно найти координаты точки C или использовать теорему косинусов для треугольника ABC.

Опустим перпендикуляр из точки C на основание AD. Обозначим точку пересечения как E. Тогда ABCE будет прямоугольником, и \( AE = BC = AB = 5 \text{ см} \) и \( CE = AB = 5 \text{ см} \).

В треугольнике CDE:

• \( \angle CED = 90^{\circ} \)
• \( \inE = AD - AE = 17 \text{ см} - 5 \text{ см} = 12 \text{ см} \)
• \( \inD = 45^{\circ} \)

В прямоугольном треугольнике CDE, \( \inCDE = 45^{\circ} \), значит, треугольник CDE равнобедренный, и \( CE = DE = 5 \text{ см} \). Но это противоречит \( \inE = 12 \text{ см} \). Следовательно, точка E должна быть на AD.

Давайте перестроим рассуждение. Проведем высоту из C на AD. Пусть эта точка будет E. Тогда ABCE - прямоугольник. \( CE = AB = 5 \text{ см} \). \( AE = BC \). Нам нужно найти BC.

В прямоугольном треугольнике CDE (где CD - гипотенуза), \( \inD = 45^{\circ} \), \( CE = 5 \text{ см} \).

Мы можем найти DE, используя тангенс:

\[ \tan(D) = \frac{CE}{DE} \]

\[ \tan(45^{\circ}) = \frac{5}{DE} \]

\[ 1 = \frac{5}{DE} \implies DE = 5 \text{ см} \]

Теперь найдем длину основания CD:

\[ CD = \frac{CE}{\sin(45^{\circ})} = \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \text{ см} \]

Длина основания BC (или AE) равна:

\[ BC = AD - DE = 17 \text{ см} - 5 \text{ см} = 12 \text{ см} \]

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У нас есть \( AB = 5 \text{ см} \) и \( BC = 12 \text{ см} \). Угол \( \inB = 90^{\circ} \) (поскольку ABCD - прямоугольная трапеция).

Найдем длину вектора \( \vec{AC} \) (гипотенузу прямоугольного треугольника ABC) с помощью теоремы Пифагора:

\[ |\vec{AC}|^2 = AB^2 + BC^2 \]

\[ |\vec{AC}|^2 = 5^2 + 12^2 \]

\[ |\vec{AC}|^2 = 25 + 144 \]

\[ |\vec{AC}|^2 = 169 \]

\[ |\vec{AC}| = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \]

Ответ: 13 см.