С1. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной а и основанием b найдите длину вектора, совпадающего с медианой, проведенной к боковой стороне.

Решение:

Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где \( AB = AC = a \) и \( BC = b \).

Проведем медиану \( AM \) к боковой стороне \( BC \). Нет, медиану к боковой стороне, то есть к AB или AC. Пусть это будет медиана \( CN \) к стороне \( AB \). Длина \( CN \) — это длина вектора \( \vec{CN} \).

В треугольнике ABC, \( N \) — середина стороны \( AB \), следовательно, \( AN = NB = \frac{a}{2} \).

Для нахождения длины медианы \( CN \) воспользуемся формулой длины медианы:

\[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \]

В нашем случае, медиана \( CN \) проведена к стороне \( c = AB \). Стороны треугольника равны \( a \) (BC), \( b \) (AC) и \( c \) (AB). В нашем случае, обозначения сторон в формуле медианы не совпадают с обозначениями в условии задачи. Переобозначим.

Пусть стороны треугольника будут \( c_1, c_2, c_3 \). Боковые стороны равны \( a \) (пусть это \( c_1=c_2=a \)), основание \( b \) (пусть это \( c_3=b \)).

Формула длины медианы, проведенной к стороне \( c_1 \):

\[ m_{c_1} = \frac{1}{2} \sqrt{2c_2^2 + 2c_3^2 - c_1^2} \]

В нашем случае, медиана проводится к боковой стороне, значит, к стороне длиной \( a \).

Пусть \( c_1 = a \) (боковая сторона AC), \( c_2 = a \) (боковая сторона AB), \( c_3 = b \) (основание BC).

Длина медианы \( m_{AC} \) к стороне AC:

\[ m_{AC} = \frac{1}{2} \sqrt{2(AB)^2 + 2(BC)^2 - (AC)^2} \]

\[ m_{AC} = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - a^2} \]

\[ m_{AC} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + 2b^2} \]

Длина вектора, совпадающего с медианой, проведенной к боковой стороне, равна длине этой медианы.

Ответ: \( \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + 2b^2} \).