B2. Сумму прибыли салона красоты описывает функция f(t) = t³ - 108t + 115 (тыс.руб./месяц). Найдите точки экстремумов функции для промежутка t>0.

Чтобы найти точки экстремума функции, нужно найти её первую производную, приравнять к нулю и решить полученное уравнение.

1. Найдем производную функции \( f(t) \):
• \[ f'(t) = \frac{d}{dt} (t^3 - 108t + 115) \]
• \[ f'(t) = 3t^2 - 108 \]
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
• \[ 3t^2 - 108 = 0 \]
• \[ 3t^2 = 108 \]
• \[ t^2 = \frac{108}{3} \]
• \[ t^2 = 36 \]
• \[ t = \pm \sqrt{36} \]
• \[ t = \pm 6 \]
3. Нам нужно найти точки экстремума для промежутка \( t > 0 \).
4. Из полученных значений \( t = 6 \) и \( t = -6 \), только \( t = 6 \) удовлетворяет условию \( t > 0 \).
5. Теперь определим, является ли \( t = 6 \) точкой максимума или минимума. Для этого найдем вторую производную:
• \[ f''(t) = \frac{d}{dt} (3t^2 - 108) \]
• \[ f''(t) = 6t \]
• Подставим \( t = 6 \) во вторую производную:
• \[ f''(6) = 6 \times 6 = 36 \]
• Так как \( f''(6) > 0 \), то в точке \( t = 6 \) функция имеет локальный минимум.

Ответ: Точка экстремума (минимум) находится при t = 6.