B2. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов B и D пересекают стороны AD и BC в точках M и E соответственно так, что MD = 5 см, EC = 7 см. Найдите периметр ABCD.

Обозначим AB = CD = a, AD = BC = b.

Биссектриса угла B пересекает AD в M. Из параллельности AB и CD и равенства углов, образованных биссектрисой, следует, что AM = AB = a. Поэтому MD = AD − AM = b − a = 5.

Для биссектрисы угла D, пересекающей BC в E, аналогично получаем BE = AD = b. Следовательно, EC = BC − BE здесь было бы нулём, что невозможно при данных задачи? Проверим соотношение: биссектриса D даёт BE = AB = a, поэтому EC = BC − BE = b − a = 5.

Это противоречит указанному EC = 7 см: в параллелограмме оба отрезка MD и EC равны разности длин соседних сторон. Следовательно, данные задачи несовместимы.

Ответ: такого параллелограмма не существует; из свойств биссектрис следует MD = EC, но даны 5 см и 7 см.