B2. В параллелограмме ABCD с равными смежными сторонами острый угол A равен 60°. Из вершины B опущен перпендикуляр BK к стороне AD. Отрезок AK равен 4 мм. Найдите периметр треугольника BCD.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Смежные стороны параллелограмма равны, поэтому ABCD — ромб. В прямоугольном треугольнике ABK угол A равен 60°, а AK = 4 мм.

Так как \(\cos 60° = AK/AB = 1/2\), то \(AB = 8\) мм. Следовательно, стороны BC и CD тоже равны 8 мм.

Угол B ромба равен \(180°-60°=120°\). По теореме косинусов для треугольника BCD:

\(BD^2=8^2+8^2-2\cdot8\cdot8\cos120°=192\), поэтому \(BD=8\sqrt{3}\) мм.

Периметр: \(8+8+8\sqrt{3}=16+8\sqrt{3}\) мм.

Ответ: \(16+8\sqrt{3}\) мм.