B2. В тетраэдре $DABC$ точка $M$ — середина $AD$, $P\in DC$ и $DP:PC=1:3$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $M$ и $P$ и параллельной $BC$. Найдите площадь сечения, если все рёбра тетраэдра равны $a$.

Question

Вопрос: $Фото задания: B2. В тетраэдре $DABC$ точка $M$ — середина $AD$, $P\in DC$ и $DP:PC=1:3$. Постройте сечение тетраэдра…$ Фото задания

Accepted Answer

Через точку $P$ в грани $DBC$ проводим прямую, параллельную $BC$. Она пересекает $DB$ в точке $Q$. Из подобия треугольников $DPQ$ и $DCB$: $DQ:DB=DP:DC=1:4$. Значит, $Q$ — точка ребра $DB$, отстоящая от $D$ на четверть ребра.
Плоскость пересекает грани $DAB$ и $DAC$ по отрезкам $MQ$ и $MP$. Поэтому сечение — треугольник $MPQ$, причём $PQ\parallel BC$ и $PQ=a/4$.
В равностороннем треугольнике $ADC$, где $DM=a/2$ и $DP=a/4$, угол $MDP=60^\circ$. По теореме косинусов: $MP^2=(a/2)^2+(a/4)^2-2\cdot(a/2)\cdot(a/4)\cos60^\circ=3a^2/16$, значит, $MP=\sqrt3a/4$. Аналогично $MQ=\sqrt3a/4$.
Высота треугольника $MPQ$, опущенная на основание $PQ$, равна $\sqrt{MP^2-(PQ/2)^2}=\sqrt{3a^2/16-a^2/64}=a\sqrt{11}/8$. Поэтому площадь сечения равна $\frac12\cdot\frac a4\cdot\frac{a\sqrt{11}}8=\frac{a^2\sqrt{11}}{64}$.

Схематическое построение сечения $MPQ$:

Ответ: площадь сечения равна $\frac{a^2\sqrt{11}}{64}$.