C1. В тетраэдре $DABC$ в основании лежит правильный треугольник $ABC$, $O$ — точка пересечения биссектрис этого треугольника, $AD=BD=CD$, $\angle DAB=45^\circ$. Найдите косинус угла $DAO$.

Question

Вопрос: $Фото задания: C1. В тетраэдре $DABC$ в основании лежит правильный треугольник $ABC$, $O$ — точка пересечения биссектрис этого…$ Фото задания

Accepted Answer

Поскольку $AD=BD$, треугольник $DAB$ равнобедренный. Из $\angle DAB=45^\circ$ следует, что $\angle DBA=45^\circ$, а значит, $\angle ADB=90^\circ$. Поэтому $AD=AB/\sqrt2$.
Точка $O$ — центр правильного треугольника $ABC$, поэтому $AO=AB/\sqrt3$. Равенство $AD=BD=CD$ означает, что проекция вершины $D$ на плоскость основания — точка $O$; следовательно, $DO\perp ABC$, и треугольник $AOD$ прямоугольный при $O$.
В прямоугольном треугольнике $AOD$: $\cos\angle DAO=AO/AD=(AB/\sqrt3)/(AB/\sqrt2)=\sqrt{2/3}$.

Ответ: $\cos\angle DAO=\frac{\sqrt6}{3}$.