B2. В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла A. Найдите длину AB, если периметр трапеции равен 35 см, ∠D = 60°.

Поскольку ∠D = 60°, а AC ⟂ CD, в треугольнике ACD углы при C и D равны 90° и 60°. Следовательно, ∠CAD = 30°.

Диагональ AC — биссектриса угла A, значит ∠BAC = ∠CAD = 30°. В треугольнике ABC углы при A и C равны 30° и 90°, поэтому ∠ABC = 60°. По теореме синусов в треугольнике ABC получаем BC = AC/2. В треугольнике ACD, где CD лежит напротив угла 30°, AC = 2CD. Значит, BC = CD.

Так как ABCD — трапеция с основаниями AB и CD, её углы A и D, прилежащие к боковой стороне AD, в сумме дают 180°. Угол A равен 60°, поэтому ∠D должен быть 120°, что противоречит условию ∠D = 60°. Следовательно, данные задачи несовместимы; указанная трапеция не существует, и длину AB определить нельзя.