B3. Разложите (1-x)⁵

Решение:

Для разложения выражения \( (1-x)^5 \) воспользуемся формулой бинома Ньютона:

\[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]

В нашем случае \( a=1 \), \( b=-x \) и \( n=5 \).

Коэффициенты бинома Ньютона для \( n=5 \) можно найти по треугольнику Паскаля:

• 1
• 1 1
• 1 2 1
• 1 3 3 1
• 1 4 6 4 1
• 1 5 10 10 5 1

Теперь подставим значения в формулу:

\[ (1-x)^5 = \binom{5}{0} 1^5 (-x)^0 + \binom{5}{1} 1^4 (-x)^1 + \binom{5}{2} 1^3 (-x)^2 + \binom{5}{3} 1^2 (-x)^3 + \binom{5}{4} 1^1 (-x)^4 + \binom{5}{5} 1^0 (-x)^5 \]

Рассчитаем биномиальные коэффициенты:

• \( \binom{5}{0} = 1 \)
• \( \binom{5}{1} = 5 \)
• \( \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)
• \( \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)
• \( \binom{5}{4} = 5 \)
• \( \binom{5}{5} = 1 \)

Теперь подставим их и раскроем степени \( (-x)^k \):

\[ (1-x)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1 \cdot (-x) + 10 \cdot 1 \cdot x^2 + 10 \cdot 1 \cdot (-x^3) + 5 \cdot 1 \cdot x^4 + 1 \cdot 1 \cdot (-x^5) \]

Упростим:

\[ (1-x)^5 = 1 - 5x + 10x^2 - 10x^3 + 5x^4 - x^5 \]

Ответ: \( 1 - 5x + 10x^2 - 10x^3 + 5x^4 - x^5 \)