B3. Решите систему уравнений

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} 10 - (x - 2y) = 18 + 4y \\ 2x - 7 + 4y = 2(3x + y) \end{cases} \)

1. Упростим первое уравнение:

\( 10 - x + 2y = 18 + 4y \)

\( -x - 2y = 18 - 10 \)

\( -x - 2y = 8 \) (1')

2. Упростим второе уравнение:

\( 2x - 7 + 4y = 6x + 2y \)

\( 2x - 6x + 4y - 2y = 7 \)

\( -4x + 2y = 7 \) (2')

3. Теперь решим полученную систему методом сложения. Умножим первое уравнение (1') на 2, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными:

\( 2(-x - 2y) = 2(8) \)

\( -2x - 4y = 16 \) (1'')

4. Сложим уравнения (1'') и (2'):

\( (-2x - 4y) + (-4x + 2y) = 16 + 7 \)

\( -6x - 2y = 23 \)

Примечание: В этом шаге ошибка. Коэффициенты при y стали -4 и +2, их сумма -2y. Должны сложиться -4y и +2y = -2y. Второе уравнение (2') содержит +2y. Нужно было или домножить (1') на 2, или (2') на 2. Исправляем шаг 3 и 4.

Решение (исправленное):

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} 10 - (x - 2y) = 18 + 4y \\ 2x - 7 + 4y = 2(3x + y) \end{cases} \)

1. Упростим первое уравнение:

\( 10 - x + 2y = 18 + 4y \)

\( -x - 2y = 8 \) (1')

2. Упростим второе уравнение:

\( 2x - 7 + 4y = 6x + 2y \)

\( 2x - 6x + 4y - 2y = 7 \)

\( -4x + 2y = 7 \) (2')

3. Теперь решим полученную систему методом сложения. Умножим первое уравнение (1') на 2, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными:

\( 2(-x - 2y) = 2(8) \)

\( -2x - 4y = 16 \) (1'')

Примечание: В этом шаге была допущена ошибка. Нужно привести к одинаковым по модулю, но противоположным по знаку коэффициентам при одной из переменных. В уравнении (2') \( +2y \). В уравнении (1') \( -2y \). Чтобы избавиться от \( y \), нужно сложить (1') и (2'). Чтобы избавиться от \( x \), нужно умножить (1') на 4 и сложить с (2'). Выбираем второй вариант, чтобы избавиться от \( x \) и найти \( y \).

Решение (исправленное 2):

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} 10 - (x - 2y) = 18 + 4y \\ 2x - 7 + 4y = 2(3x + y) \end{cases} \)

1. Упростим первое уравнение:

\( 10 - x + 2y = 18 + 4y \)

\( -x - 2y = 8 \) (1')

2. Упростим второе уравнение:

\( 2x - 7 + 4y = 6x + 2y \)

\( 2x - 6x + 4y - 2y = 7 \)

\( -4x + 2y = 7 \) (2')

3. Умножим первое уравнение (1') на 4:

\( 4(-x - 2y) = 4(8) \)

\( -4x - 8y = 32 \) (1'')

4. Теперь вычтем уравнение (2') из уравнения (1''):

\( (-4x - 8y) - (-4x + 2y) = 32 - 7 \)

\( -4x - 8y + 4x - 2y = 25 \)

\( -10y = 25 \)

\( y = \frac{25}{-10} = -2.5 \)

5. Подставим найденное значение \( y = -2.5 \) в уравнение (1'):

\( -x - 2(-2.5) = 8 \)

\( -x + 5 = 8 \)

\( -x = 8 - 5 \)

\( -x = 3 \)

\( x = -3 \)

Ответ: \( x = -3 \), \( y = -2.5 \).