B3. Сумма гипотенузы CE и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины C до прямой DE.

Решение:

Пусть гипотенуза CE = \( h \) и катет CD = \( a \).

По условию задачи имеем систему уравнений:

\( h + a = 31 \)

\( h - a = 3 \)

Сложим оба уравнения:

\( (h + a) + (h - a) = 31 + 3 \)

\( 2h = 34 \)

\( h = \frac{34}{2} = 17 \) см (гипотенуза CE).

Теперь найдём длину катета CD:

\( 17 + a = 31 \)

\( a = 31 - 17 = 14 \) см (катет CD).

Расстояние от вершины C до прямой DE — это высота, опущенная из вершины прямого угла C на гипотенузу DE. Пусть эта высота равна \( h_{DE} \).

Площадь прямоугольного треугольника CDE можно найти двумя способами:

1. \( S = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot DE \) (где DE — второй катет)

2. \( S = \frac{1}{2} \cdot CE \cdot h_{DE} \) (где CE — гипотенуза)

Сначала найдём длину второго катета DE по теореме Пифагора: \( DE^2 = CE^2 - CD^2 = 17^2 - 14^2 = 289 - 196 = 93 \). Значит, \( DE = \sqrt{93} \) см.

Теперь приравняем площади:

\( \frac{1}{2} \cdot CD \cdot DE = \frac{1}{2} \cdot CE \cdot h_{DE} \)

\( CD \cdot DE = CE \cdot h_{DE} \)

\( 14 \cdot \sqrt{93} = 17 \cdot h_{DE} \)

\( h_{DE} = \frac{14 \sqrt{93}}{17} \) см.

Ответ: \( \frac{14 \sqrt{93}}{17} \) см.