B3. В равнобедренную трапецию ABCD (AD ∥ BC) вписана окружность с центром в точке O. Найдите среднюю линию трапеции, если OC = 5 см, OD = 12 см.

Обозначим через \(x\) и \(y\) половины оснований \(AD\) и \(BC\) соответственно, а радиус вписанной окружности — через \(r\). Центр окружности лежит на оси симметрии трапеции, поэтому \(OD^2=x^2+r^2=144\), \(OC^2=y^2+r^2=25\).

В описанной равнобедренной трапеции сумма оснований равна сумме боковых сторон. Следовательно, \(x+y=\sqrt{(x-y)^2+(2r)^2}\). После возведения в квадрат получаем \(xy=r^2\).

Тогда \(x(x+y)=144\) и \(y(x+y)=25\). Складываем равенства: \((x+y)^2=169\), откуда \(x+y=13\) см. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть \(x+y\).

Ответ: 13 см.