B4. Упростите выражение: (sin 2t - 2 sin t) / (cos t - 1)

Решение:

Используем формулы:

\( \sin 2t = 2 \sin t \cos t \)

\( \cos t - 1 = -2 \sin^2 (t/2) \) или \( \cos t - 1 = 2\cos^2(t/2) - 2 \) (что не подходит, воспользуемся первым)

\( \cos t - 1 = -2\sin^2(t/2) \)

Перепишем числитель:

\( \sin 2t - 2 \sin t = 2 \sin t \cos t - 2 \sin t = 2 \sin t (\cos t - 1) \)

Теперь подставим в исходное выражение:

\( \frac{2 \sin t (\cos t - 1)}{\cos t - 1} \)

Сокращаем \( \cos t - 1 \) (при условии, что \( \cos t \neq 1 \), то есть \( t \neq 2\pi k \) ):

\( 2 \sin t \)

Ответ: \( 2 \sin t \)