B5. Дан прямоугольный треугольник ABC (∠ABC = 90°), у которого AB = 10, tg∠ACB = 5/7 (см. рис.). Найдите площадь этого прямоугольного треугольника.

Решение:

Дано: прямоугольный треугольник ABC, \( \angle ABC = 90^{\circ} \), \( AB = 10 \) см, \( \text{tg}\angle ACB = \frac{5}{7} \).

Найти: Площадь треугольника ABC.

1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \).
2. У нас есть катет \( AB = 10 \) см. Нам нужно найти катет \( BC \).
3. Воспользуемся определением тангенса в прямоугольном треугольнике: \( \text{tg}\angle ACB = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AB}{BC} \).
4. Подставим известные значения: \( \frac{5}{7} = \frac{10}{BC} \).
5. Выразим \( BC \): \( BC = \frac{10 \cdot 7}{5} = \frac{70}{5} = 14 \) см.
6. Теперь найдем площадь треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 14 = 5 \cdot 14 = 70 \) см².

Ответ: 70