B6. Найдите значение выражения $$4 · x_0$$, где $$x_0$$ — корень уравнения $$5^{2x+12} - 5^{2x+10} = 120$$.

Решение:

Дано уравнение: \( 5^{2x+12} - 5^{2x+10} = 120 \).

1. Вынесем общий множитель \( 5^{2x+10} \) за скобки: \( 5^{2x+10} (5^{(2x+12)-(2x+10)} - 1) = 120 \).
2. Упростим выражение в скобках: \( 5^{2x+10} (5^2 - 1) = 120 \).
3. \( 5^{2x+10} (25 - 1) = 120 \).
4. \( 5^{2x+10} (24) = 120 \).
5. Разделим обе части уравнения на 24: \( 5^{2x+10} = \frac{120}{24} = 5 \).
6. Так как основания степеней равны, приравниваем показатели: \( 2x+10 = 1 \).
7. Решим полученное линейное уравнение: \( 2x = 1 - 10 \) \( 2x = -9 \) \( x = -4.5 \).
8. Корень уравнения \( x_0 = -4.5 \).
9. Найдем значение выражения \( 4 · x_0 \): \( 4 · (-4.5) = -18 \).

Ответ: -18