B5. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее, равна 2. Найдите радиус цилиндра.

Решение:

1. Пусть \( H \) — высота цилиндра, \( R \) — радиус цилиндра, \( d \) — расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения, \( S_{sec} \) — площадь сечения.
2. По условию: \( H = 10 \) дм, \( d = 9 \) дм, \( S_{sec} = 2 \) дм².
3. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, представляет собой прямоугольник.
4. Длина одной стороны этого прямоугольника равна высоте цилиндра \( H \).
5. Длина другой стороны этого прямоугольника равна хорде круга основания, расстояние от центра круга до которой равно \( d \).
6. Найдем длину этой хорды. Пусть хорда равна \( L \). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом \( R \), расстоянием \( d \) и половиной хорды \( L/2 \). По теореме Пифагора: \( R^2 = d^2 + (L/2)^2 \).
7. Площадь сечения \( S_{sec} = H · L \).
8. Из площади сечения найдем длину хорды \( L \):
9. \( L = \frac{S_{sec}}{H} = \frac{2}{10} = 0.2 \) дм.
10. Теперь найдем \( L/2 \):
11. \( L/2 = \frac{0.2}{2} = 0.1 \) дм.
12. Подставим значения \( d \) и \( L/2 \) в уравнение теоремы Пифагора:
13. \( R^2 = 9^2 + (0.1)^2 \)
14. \( R^2 = 81 + 0.01 \)
15. \( R^2 = 81.01 \)
16. \( R = \sqrt{81.01} \) дм.

Ответ: \( \sqrt{81.01} \) дм.