7.(2 балла) Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины общего перпендикуляра, если проекции наклонных относятся как 2:3 и длины наклонных равны 23 см и 33 см.

Обозначим длину общего перпендикуляра как h. Пусть длины проекций наклонных равны 2x и 3x соответственно, а длины наклонных - 23 см и 33 см.

По теореме Пифагора для первой наклонной:

$$h^2 + (2x)^2 = 23^2$$

$$h^2 + 4x^2 = 529$$

По теореме Пифагора для второй наклонной:

$$h^2 + (3x)^2 = 33^2$$

$$h^2 + 9x^2 = 1089$$

Вычитаем первое уравнение из второго:

$$5x^2 = 1089 - 529 = 560$$

$$x^2 = \frac{560}{5} = 112$$

$$x = \sqrt{112} = 4\sqrt{7}$$

Подставляем x^2 в первое уравнение:

$$h^2 + 4(112) = 529$$

$$h^2 + 448 = 529$$

$$h^2 = 529 - 448 = 81$$

$$h = \sqrt{81} = 9 \text{ см}$$

Ответ: 9 см