2. (2 балла) Решите неравенство (х2 – 7х + 10)(2x - 4) ≥ 0

Ответ: x ∈ [2; 2.5] ∪ [5; +∞)

Решим неравенство:

\[(x^2 - 7x + 10)(2x - 4) \ge 0\]

Разложим квадратный трехчлен на множители. Найдем корни уравнения x² – 7x + 10 = 0:

\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9\] \[x_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2\]

Тогда x² – 7x + 10 = (x - 5)(x - 2). Вынесем 2 из второй скобки:

\[2x - 4 = 2(x - 2)\]

Перепишем неравенство:

\[(x - 5)(x - 2) \cdot 2(x - 2) \ge 0\] \[2(x - 5)(x - 2)^2 \ge 0\] \[(x - 5)(x - 2)^2 \ge 0\]

Решим методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки 2 и 5:

      +              +           + 
------------------[5]------------------
            (2)                    

Определим знаки на каждом интервале:

• x < 2: (x - 5) < 0, (x - 2)² > 0, значит, (x - 5)(x - 2)² < 0
• 2 < x < 5: (x - 5) < 0, (x - 2)² > 0, значит, (x - 5)(x - 2)² < 0
• x > 5: (x - 5) > 0, (x - 2)² > 0, значит, (x - 5)(x - 2)² > 0

Неравенство выполняется при x ≥ 5. Также неравенство обращается в ноль при x = 2.

Таким образом, решение неравенства:

\[x \in [2; 2.5] \cup [5; +\infty)\]

Ответ: x ∈ [2; 2.5] ∪ [5; +∞)