2. (2 балла) Решите неравенство (x² - 7x + 10) (2x - 4) ≥ 0

Ответ: x ∈ [2] ∪ [5; +∞)

1. Шаг 1: Разложим квадратный трехчлен на множители: \(x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)\) Таким образом, неравенство принимает вид: \[(x - 2)(x - 5)(2x - 4) \ge 0\]
2. Шаг 2: Найдем корни каждого множителя: \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\) \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\) \(2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\)
3. Шаг 3: Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале: Корни: 2, 5. Интервалы: \((-\infty; 2), (2; 5), (5; +\infty)\) На интервале \((-\infty; 2)\): выберем \(x = 0\), тогда \((0 - 2)(0 - 5)(2 \cdot 0 - 4) = (-2)(-5)(-4) = -40 < 0\) На интервале \((2; 5)\): выберем \(x = 3\), тогда \((3 - 2)(3 - 5)(2 \cdot 3 - 4) = (1)(-2)(2) = -4 < 0\) На интервале \((5; +\infty)\): выберем \(x = 6\), тогда \((6 - 2)(6 - 5)(2 \cdot 6 - 4) = (4)(1)(8) = 32 > 0\)
4. Шаг 4: Выберем интервалы, где неравенство больше или равно нулю: \(x = 2\) (т.к. при \(x = 2\) все выражение равно 0) \[x \in [5; +\infty)\]
5. Шаг 5: Объединим решения: \(x = 2\) или \(x \in [5; +\infty)\)

Ответ: x ∈ [2] ∪ [5; +∞)