10. (3 балла) Решите уравнение 6sin²x + 5sinx+1=0.

Решим уравнение 6sin²x + 5sinx + 1 = 0.

Пусть sinx = t, тогда уравнение примет вид:

6t² + 5t + 1 = 0

Найдем дискриминант D:

D = b² - 4ac = 5² - 4 * 6 * 1 = 25 - 24 = 1

Найдем корни t₁ и t₂:

t₁ = (-b + √D) / 2a = (-5 + √1) / (2 * 6) = (-5 + 1) / 12 = -4 / 12 = -1/3

t₂ = (-b - √D) / 2a = (-5 - √1) / (2 * 6) = (-5 - 1) / 12 = -6 / 12 = -1/2

Теперь вернемся к sinx:

1) sinx = -1/3

x = arcsin(-1/3) + 2πk, где k ∈ Z

x = π - arcsin(-1/3) + 2πk, где k ∈ Z

2) sinx = -1/2

x = arcsin(-1/2) + 2πk, где k ∈ Z

x = -π/6 + 2πk, где k ∈ Z

x = π - arcsin(-1/2) + 2πk, где k ∈ Z

x = π - (-π/6) + 2πk, где k ∈ Z

x = 7π/6 + 2πk, где k ∈ Z

Ответ: x = arcsin(-1/3) + 2πk, x = π - arcsin(-1/3) + 2πk, x = -π/6 + 2πk, x = 7π/6 + 2πk, где k ∈ Z