8. (2 балла) Решите уравнение (2x - 3)√3x² - 5x - 2=0

Решим уравнение (2x - 3)√(3x² - 5x - 2) = 0.

Уравнение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

1) 2x - 3 = 0

2x = 3

x = 3/2 = 1.5

2) √(3x² - 5x - 2) = 0

3x² - 5x - 2 = 0

D = (-5)² - 4 * 3 * (-2) = 25 + 24 = 49

x₁ = (5 + √49) / (2 * 3) = (5 + 7) / 6 = 12 / 6 = 2

x₂ = (5 - √49) / (2 * 3) = (5 - 7) / 6 = -2 / 6 = -1/3

Проверим корни подстановкой в исходное уравнение:

При x = 1.5: (2 * 1.5 - 3)√(3 * 1.5² - 5 * 1.5 - 2) = (3 - 3)√(3 * 2.25 - 7.5 - 2) = 0. Корень подходит.

При x = 2: (2 * 2 - 3)√(3 * 2² - 5 * 2 - 2) = (4 - 3)√(3 * 4 - 10 - 2) = 1 * √(12 - 12) = 1 * 0 = 0. Корень подходит.

При x = -1/3: (2 * (-1/3) - 3)√(3 * (-1/3)² - 5 * (-1/3) - 2) = (-2/3 - 9/3)√(3 * 1/9 + 5/3 - 2) = (-11/3)√(1/3 + 5/3 - 6/3) = (-11/3) * 0 = 0. Корень подходит.

Ответ: x = -1/3; x = 1.5; x = 2.