3. (12 баллов) Для натуральных чисел а, b, с выполнено условие: 18a+19b+21c=136. Чему равно выражение a+b+с? Найдите все возможные его значения. Ответ обоснуйте.

Для решения задачи необходимо найти все возможные натуральные значения a, b, c, удовлетворяющие уравнению:

$$18a + 19b + 21c = 136$$

А также найти все возможные значения выражения a + b + c.

Выразим a через b и c:

$$18a = 136 - 19b - 21c$$Так как a, b, c - натуральные числа, то необходимо, чтобы 136 - 19b - 21c делилось на 18.

Рассмотрим возможные значения для b и c:

1. Если c = 1:

   $$a = \frac{136 - 19b - 21}{18} = \frac{115 - 19b}{18}$$

   Если b = 1, то a = (115 - 19) / 18 = 96 / 18 - не целое.

   Если b = 2, то a = (115 - 38) / 18 = 77 / 18 - не целое.

   Если b = 3, то a = (115 - 57) / 18 = 58 / 18 - не целое.

   Если b = 4, то a = (115 - 76) / 18 = 39 / 18 - не целое.

   Если b = 5, то a = (115 - 95) / 18 = 20 / 18 - не целое.

   Если b = 6, то a = (115 - 114) / 18 = 1 / 18 - не целое.

2. Если c = 2:

   $$a = \frac{136 - 19b - 42}{18} = \frac{94 - 19b}{18}$$

   Если b = 1, то a = (94 - 19) / 18 = 75 / 18 - не целое.

   Если b = 2, то a = (94 - 38) / 18 = 56 / 18 - не целое.

   Если b = 3, то a = (94 - 57) / 18 = 37 / 18 - не целое.

   Если b = 4, то a = (94 - 76) / 18 = 18 / 18 = 1. Тогда a = 1, b = 4, c = 2.

   a + b + c = 1 + 4 + 2 = 7

3. Если c = 3:

   $$a = \frac{136 - 19b - 63}{18} = \frac{73 - 19b}{18}$$

   Если b = 1, то a = (73 - 19) / 18 = 54 / 18 = 3. Тогда a = 3, b = 1, c = 3.

   a + b + c = 3 + 1 + 3 = 7

   Если b = 2, то a = (73 - 38) / 18 = 35 / 18 - не целое.

   Если b = 3, то a = (73 - 57) / 18 = 16 / 18 - не целое.

4. Если c = 4:

   $$a = \frac{136 - 19b - 84}{18} = \frac{52 - 19b}{18}$$

   Если b = 1, то a = (52 - 19) / 18 = 33 / 18 - не целое.

   Если b = 2, то a = (52 - 38) / 18 = 14 / 18 - не целое.

5. Если c = 5:

   $$a = \frac{136 - 19b - 105}{18} = \frac{31 - 19b}{18}$$

   Если b = 1, то a = (31 - 19) / 18 = 12 / 18 - не целое.

6. Если c = 6:

   $$a = \frac{136 - 19b - 126}{18} = \frac{10 - 19b}{18}$$

   Нет натуральных решений для a, b.

Таким образом, у нас есть два решения:

1. a = 1, b = 4, c = 2, a + b + c = 7
2. a = 3, b = 1, c = 3, a + b + c = 7

Ответ: a + b + c = 7