3. (12 баллов) Для натуральных чисел а, в, с выполнено условие: 18a+19b+21c=136. Чему равно выражение a+b+c? Найдите все возможные его значения. Ответ обоснуйте.

Для решения данного уравнения в натуральных числах, рассмотрим возможные значения переменных a, b и c.

Выразим 18a через остальные члены уравнения:

$$18a = 136 - 19b - 21c$$

Так как a - натуральное число, то выражение 136 - 19b - 21c должно быть положительным и делиться на 18.

Оценим возможные значения b и с. Максимальное значение для b можно найти, полагая a и c минимальными (a=1, c=1):

$$19b \le 136 - 18 - 21 = 97$$ $$b \le \frac{97}{19} \approx 5.1$$

Значит, b может принимать значения от 1 до 5.

Аналогично, максимальное значение для c можно найти, полагая a и b минимальными (a=1, b=1):

$$21c \le 136 - 18 - 19 = 99$$ $$c \le \frac{99}{21} \approx 4.7$$

Значит, c может принимать значения от 1 до 4.

Теперь рассмотрим возможные варианты значений b и c, чтобы 136 - 19b - 21c делилось на 18:

• Если b=1, то 136 - 19 - 21c = 117 - 21c должно делиться на 18. Если с=1, то 117 - 21 = 96, не делится на 18. Если с=2, то 117 - 42 = 75, не делится на 18. Если с=3, то 117 - 63 = 54, делится на 18. a = 54 / 18 = 3. a+b+c = 3 + 1 + 3 = 7. Если с=4, то 117 - 84 = 33, не делится на 18.
• Если b=2, то 136 - 38 - 21c = 98 - 21c должно делиться на 18. Если с=1, то 98 - 21 = 77, не делится на 18. Если с=2, то 98 - 42 = 56, не делится на 18. Если с=3, то 98 - 63 = 35, не делится на 18. Если с=4, то 98 - 84 = 14, не делится на 18.
• Если b=3, то 136 - 57 - 21c = 79 - 21c должно делиться на 18. Если с=1, то 79 - 21 = 58, не делится на 18. Если с=2, то 79 - 42 = 37, не делится на 18. Если с=3, то 79 - 63 = 16, не делится на 18. Если с=4, то 79 - 84 = -5, не делится на 18.
• Если b=4, то 136 - 76 - 21c = 60 - 21c должно делиться на 18. Если с=1, то 60 - 21 = 39, не делится на 18. Если с=2, то 60 - 42 = 18, делится на 18. a = 18 / 18 = 1. a+b+c = 1 + 4 + 2 = 7. Если с=3, то 60 - 63 = -3, не делится на 18.
• Если b=5, то 136 - 95 - 21c = 41 - 21c должно делиться на 18. Если с=1, то 41 - 21 = 20, не делится на 18. Если с=2, то 41 - 42 = -1, не делится на 18.

Таким образом, возможны два варианта: a=3, b=1, c=3, a+b+c=7 a=1, b=4, c=2, a+b+c=7

Ответ: a+b+c=7