Башенный беше....ый

Применим Протокол А (Орфография) и Приоритетные орфографические инъекции (для ПРОТОКОЛА А), 3.3.1. Орфография корня слова: безударную гласную в корне слова проверяем подбором однокоренного слова, чтобы гласная стала ударной.

1. Беше...ый
2. Однокоренные слова: бешеный, беситься, бешенство.
3. В слове «бешеный» в корне пишется буква «е».

Ответ: бешеный